Question

如图，CD是⊙O的直径，BE切⊙O于点B，DC的延长线交直线BE于点A，点F在⊙O上，CD=4cm，AC=2cm．    
（1）求∠A，∠CFB的度数；
（2）求BD的长．

Answer 1

分析：（1）如图所示，连接OB．利用切线的性质可得：OB⊥AE．由于CD=4cm，AC=2cm，OC=OD=OB．可得OB=

1

2

OA，于是∠A=30°，∠AOB=60°=2∠D．由于∠CFB=∠D，即可得出∠CFB．（2）在△BOD中，利用余弦定理可得：BD²=2OB²-2OB²cos120°即可得出．

解答：解：（1）如图所示，连接OB．
∵BE是⊙O的切线，∴OB⊥AE．
∵CD=4cm，AC=2cm，OC=OD=OB．
∴OB=

1

2

OA，
∠A=30°，∠AOB=60°=2∠D．
又∵∠CFB=∠D，
∴∠CFB=30°．
（2）在△BOD中，由余弦定理可得：BD²=2OB²-2OB²cos120°=2×22-2×22×(-

1

2

)=12，
∴BD=2

3

．

点评：本题考查了圆的切线的性质、含30°的直角三角形的性质、同弧所对的圆周角相等的性质、余弦定理等基础知与基本技能方法，属于基础题．