Question

已知二面角α-l-β，点A∈α，B∈β，AC⊥l于点C，BD⊥l于D，且AC=CD=DB=1，求证：AB=2的充要条件α-l-β=120⁰．

Answer 1

分析：由已知中当α-l-β=120°时，我们不妨令

AC

=

a

，

CD

=

b

，

DB

=

c

，易得＜

a

，

b

＞=＜

b

，

c

＞=90°，＜

a

，

c

＞=60°，进而结合AC=CD=DB=1，可证得AB=2，即|

AB

|=2，从而证得充分性；反之，我们也可是证得当AB=2，即|

AB

|=2时，可得＜

a，

c

＞=60° ，进而根据二面角α-l-β为钝二面角，可得α-l-β=120°，即证得必要性．

解答：证明：充分性：
设

AC

=

a

，

CD

=

b

，

DB

=

c

，
∵AC=CD=DB=1，
∴|

a

|=|

b

|=|

c

|=1，
又∵AC⊥l于点C，BD⊥l于D
∴＜

a

，

b

＞=＜

b

，

c

＞=90°，＜

a

，

c

＞=60°，
∴

a

2=

b

2=

c

2=1，

a

b

=

b

c

=0，

a

c

=

1

2

∴|

AB

|=

( a + b + c )2

=

a 2+ b 2+ c 2+2 a b +2 b c +2 a c

=2，
必要性：∵|

AB

|=

( a + b + c )2

=

a 2+ b 2+ c 2+2 a b +2 b c +2 a c

=2
又

a

2=

b

2=

c

2=1，

a

b

=

b

c

=0，
∴2

a

c

=1
∴＜

a，

c

＞=60° 
即α-l-β=120°

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，向量的模，其中熟练掌握充要条件的证明步骤，即及要证充分性又要证明必要性，是解答本题的关键．