Question

【题目】已知函数，其中为非零实数.

（1）求的极值；

（2）当时，在函数的图象上任取两个不同的点、.若当时，总有不等式成立，求正实数的取值范围：

（3）当时，设、，证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）求导，对分和两种情况讨论，分析函数的单调性，即可得出函数的极值；

（2）由，得出，构造函数，可知函数在区间上为减函数或常函数，解不等式，即可得出实数的取值范围；

（3）时，构造函数，把看做主元，求导判断即可．

（1），其中为非零实数，，.

①当时，，，函数单调递减；时，，函数单调递增.

所以，函数有极小值；

②当时，，，函数单调递增；时，，函数单调递减.

所以，函数有极大值.

综上所述，当时，函数有极小值；

当时，函数有极大值；

（2）当时，，，

当时，总有不等式成立，

即，构造函数，

由于，，

则函数在区间上为减函数或常函数，

，，解不等式，解得.

由题意可知，，因此，正实数的取值范围是；

（3）时，根据（1），函数在上单调递增，在上单调递减.

构造函数，

当时，.

故函数在上单调递增，

同理当时，，则函数在上单调递减，

所以，函数的最大值为，故.

因此，成立.