Question

【题目】已知函数，且.

（1）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；

（2）设函数，当时，恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1） 函数在区间上是减函数等价于在区间上恒成立，即在上恒成立,由二次函数知识可求的范围；

（2）令，当时，恒成立等价于在区间上恒成立，求函数的导数，分类讨论研究函数在区间的单调性求之即可.

试题解析：（1）∵函数在区间上是减函数，则，

即在上恒成立，当时，令，得或，①若，则，解得；

②若，则，解得.

综上，实数的取值范围是.

（2）令，则，根据题意，当时，恒成立，所以.

①当时，时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符题意.

②当时，时，恒成立，所以在上是增函数，且所以不符题意.

③当时，时，恒有，故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条件是，即，解得，故，综上，的取值范围是.