Question

 (本题满分12分)

已知椭圆的一个焦点是(1,0),两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点(4,0)且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点,设点关于轴的对称点为.求证:直线过轴上的一定点,并求出此定点坐标.

Answer 1

 (12分).解：(1)因为椭圆C的一个焦点是（1,0），所以半焦距c=1.

因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.

所以，解得,所以椭圆的标准方程为. ……4分                  

(2)设直线与联立并消去x得:

.

由D=(24m）-4×36×(3m²+4)=16(9m²-36)>0  得m>2或m<-2

设,，    ………7分

   由已知得A₁(x₁,-y₁)，根据题设条件设定点为T(t,0)，

得，即.                             ………9分

所以

即直线过x轴上一定点T(1,0).