Question

已知抛物线x²=4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A、B两点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M。
（1）求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列；
（2）设直线MF交该抛物线于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值。

Answer 1

解：（1）由已知得F（0，1），显然直线AB的斜率存在且不为0，
可设直线AB的方程为：y=kx+1（k≠0），，
由得，显然△＞0，
∴，
由得，
∴，直线AM的斜率为，
直线AM的方程为直线，
化简得AM的方程为，
同理可得直线BM的方程为，
两式相减得，即A、M、B三点的横坐标成等差数列。
（2）由（1）知y=-1，点M的坐标为（2k，-1），，
则直线MF的方程为：，
设，由得：，显然△＞0，
∴，∴，，
，
∴AB⊥AC，
，
当且仅当k=±1时，四边形ACBD的面积有最小值32。