Question

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，S_n为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1，令，数列{b_n}的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式及数列{b_n}的前n项和为T_n；
（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把等差数列的求和公式代入a_n²=S_2n-1整理后可求得a_n，代入利用裂项法求得T_n．
（2）根据（1）中求得T_n分别表示出T₁，T_m，T_n根据等比中项的性质建立等式，化简整理即可求得m的范围，进而根据m和n均为正整数求得m，进而n
解答：解：（1）因为{a_n}是等差数列，
由，
又因为a_n≠0，所以a_n=2n-1，
由，
所以．
（2）由（1）知，，
所以，
若T₁，T_m，T_n成等比数列，则，
即．
由，
可得，
所以-2m²+4m+1＞0，
从而：，又m∈N，且m＞1，
所以m=2，此时n=12．
故可知：当且仅当m=2，n=12使数列{T_n}中的T₁，T_m，T_n成等比数列．
点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析问题和实际运算能力．