Question

14．关于函数f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）的性质，下列表述正确的是（1）、（2）、（4）、（5）
（1）是周期函数，且最小正周期是π；
（2）是轴对称图形，且对称轴是直线x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z；
（3）定义域为R，值域是[$\frac{1}{2}$，2]；
（4）是中心对称图形，且对称中心是（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，0），k∈Z；
（5）单调递减区间是[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．

Answer 1

分析 由条件利用余弦函数的周期性，定义域和值域，图象的对称性和单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：对于函数f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），
由于函数的周期为$\frac{2π}{2}$=π，故（1）正确．
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，故函数的图象的对称轴是直线x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z，故（2）正确．
由解析式可得函数的定义域为R，值域为[-2，2]，故（3）错误．
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，故函数的图象的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，0），k∈Z，故（4）正确．
令2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，k∈Z，求得 kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，故函数的单调递减区间是[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，故（5）正确．
故答案为：（1）、（2）、（4）、（5）．

点评 本题主要考查余弦函数的周期性，定义域和值域，图象的对称性和单调性，属于基础题．