Question

已知△ABC是复平面内的三角形，A、B两点对应的复数分别为1+3i和-i，且AC=BC，
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程．
（2）若复数z满足|z-5i|=1，探究复数z对应的点Z的轨迹与顶点C的轨迹的位置关系．

Answer 1

分析：（1）易知A（1，3），B（0，-1），从而线段AB的中点坐标为（

1

2

，1），根据直线AB的斜率可得线段AB中垂线斜率，由此可得点C的轨迹方程；
（2）由|z-5i|=1可知复数z对应的点Z的轨迹为以（0，5）为圆心，1为半径的圆，利用圆心到直线的距离与半径的大小关系可得结论；

解答：解：（1）依题意，得A（1，3），B（0，-1），线段AB的中点坐标为（

1

2

，1），直线AB的斜率为4，
所以线段AB中垂线的斜率为-

1

4

，
所以C的轨迹方程为y-1=-

1

4

（x-

1

2

），x≠

1

2

，即2x+8y-9=0（x≠

1

2

）；
（2）因为复数z满足|z-5i|=1，
所以复数z的轨迹为以M（0，5）为圆心，以1为半径的圆，
又M到直线2x+8y-9=0的距离为d=

|0+40-9|

4+64

=

31

68

＞1，
所以两轨迹是相离的关系．

点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查学生分析解决问题的能力．