Question

函数f（x）=ax²+2x+1，若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围是

a≥0

．

Answer 1

分析：要使函数f（x）=ax²+2x+1对任意x∈[1，+∞），都有f（x）＞0恒成立，a有可能等于0或大于0，然后分这两种情况讨论，a=0时为一次函数，显然成立；a＞0时，又分判别式小于0和大于等于0两种情况，特别是判别式大于0时，需借助于二次函数的对称轴及f（1）的符号列式求解．

解答：解：当a=0时，函数f（x）=ax²+2x+1化为f（x）=2x+1，满足对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立；
当a≠0时，要使对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
则

a＞0 △=22-4a＜0

①
或

a＞0 △=22-4a≥0 - 1 a ≤1 f(1)＞0

，即

a＞0 4-4a≥0 - 1 a ≤1 a+3＞0

②
解①得，a＞1．
解②得，0＜a≤1．
综上，对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立的实数a的取值范围是a≥0．
故答案为a≥0．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用“三个二次”的结合求解参数问题，是中档题．