Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，椭圆经过点，离心率为. 已知过点的直线与椭圆交于两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）试问轴上是否存在定点，使得为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）先根据已知得到三个方程解方程组即得椭圆C的方程. (2) 设N(n，0)，先讨论l斜率不存在的情况得到n=4,再证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有＝12．

详解：（1）离心率e＝，所以c＝a，b＝＝a，

所以椭圆C的方程为．

因为椭圆C经过点，所以\，

所以b2＝1，所以椭圆C的方程为．

（2）设N(n，0)，

当l斜率不存在时，A(，y)，B(，－y)，则y2＝1－＝，

则＝(－n)2－y2＝(－n)2－＝n2－n－，

当l经过左右顶点时，＝(－2－n)(2－n)＝n2－4．

令n2－n－＝n2－4，得n＝4．

下面证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有＝12．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由消去y，得(4k2＋1)x2－k2x＋k2－4＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝，

所以＝(x1－4)(x2－4)＋y1y2

＝(x1－4)(x2－4)＋k2(x1－)(x2－)

＝(k2＋1)x1x2－(4＋k2)(x1＋x2)＋16＋k2

＝(k2＋1) －(4＋k2) ＋16＋k2

＝＋16＝12．

所以在x轴上存在定点N(4，0)，使得为定值．