Question

如图，椭圆与椭圆中心在原点，焦点均在轴上，且离心率相同．椭圆的长轴长为，且椭圆的左准线被椭圆截得的线段长为，已知点是椭圆上的一个动点．

⑴求椭圆与椭圆的方程；
⑵设点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，若直线刚好平分，求点的坐标；
⑶若点在椭圆上，点满足，则直线与直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

（1）,（2），（3）.

试题分析：（1）求椭圆方程，基本方法是待定系数法.关键是找全所需条件. 椭圆中三个未知数的确定只需两个独立条件，根据椭圆的长轴长为得，又由椭圆的左准线得，所以，，，就可得到椭圆的标准方程；由椭圆与椭圆离心率相同，得再由椭圆过点，代入可得椭圆（2）涉及弦中点问题,一般用“点差法”构造等量关系.本题较简单,可直接求出中点坐标,再利用直线与椭圆联立方程组求交点坐标;（3）求定值问题,一是确定定值,这可利用特殊情况給于确定,二是参数选择,不仅要揭示问题本质,更要易于消元,特别是整体消元.本题研究的是直线与直线的斜率之积,即它们坐标满足为定值,参数选为点的坐标,利用点的坐标满足进行整体消元.
试题解析：⑴设椭圆方程为，椭圆方程为，
则，∴，又其左准线，∴，则
∴椭圆方程为，其离心率为，                            3分
∴椭圆中，由线段的长为，得,代入椭圆，
得，∴，椭圆方程为；                        6分
⑵，则中点为，∴直线为，   7分
由，得或，
∴点的坐标为；                      10分
⑶设，，则，，
由题意，∴               12分
∴
            14分
∴，∴，即，
∴直线与直线的斜率之积为定值，且定值为．             16分