Question

如图，已知△AOB，∠AOB=，∠BAO=θ，AB=4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B-AO-C的大小为．
（Ⅰ） 当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值；
（Ⅱ） 当∈[，θ]时，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）建立间直角坐标系O-xyz，，由求出平面COD的一个法向量，又平面AOB的一个法向量为=（1，0，0），由平面COD⊥平面AOB得•=0，求出θ的值．
（II）由（Ⅰ）得当θ=时，cosα=0；当θ∈（，]时，tanθ≤-，利用向量的数量积公式将cosα用θ的三角函数表示，据tanθ≤-，求出cosα的范围．
解答：解：（Ⅰ） 如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则A （0，0，2），B （0，2，0），
D （0，1，），C （2sinθ，2cosθ，0）．
设=（x，y，z）为，
由得
取z=sinθ，
则=（cosθ，-sinθ，sinθ）．
因为平面AOB的一个法向量为=（1，0，0），
由平面COD⊥平面AOB得•=0，
所以cosθ=0，即θ=． …（6分）
（Ⅱ） 设二面角C-OD-B的大小为α，
由（Ⅰ）得当θ=时，cosα=0；
当θ∈（，]时，
tanθ≤-，
cosα===-，
故-≤cosα＜0．
综上，二面角C-OD-B的余弦值的取值范围为[-，0]．  …（13分）
点评：解决二面角的大小问题，一般借助的工具是通过建立空间直角坐标系，将二面角的问题转化为两个平面的法向量所成的角的问题，通过向量的数量积来解决．