Question

如图2-2-8,在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,P是侧棱CC₁上的一点,CP=m.

图2-2-8

(1)试确定m,使直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为;

(2)在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q,使得对任意的m,D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP,并证明你的结论.

Answer 1

思路分析:本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力,考查运用向量知识解决数学问题的能力.

解:(1)连结AC,设AC与BD相交于点O,AP与平面BDD₁B₁相交于点G,连结OG,因为PC∥平面BDD₁B₁,平面BDD₁B₁∩平面APC=OG,

故OG∥PC.所以OG=PC=.

又AO⊥BD,AO⊥BB₁,所以AO⊥平面BDD₁B₁,

故∠AGO是AP与平面BDD₁B₁所成的角.

在Rt△AOG中,tan∠AGO=,即m=.

所以,当m=时,直线AP与平面BDD₁B₁所成的角的正切值为.

(2)可以推测,点Q应当是A₁C₁的中点O₁,因为D₁O₁⊥A₁C₁,且D₁O₁⊥A₁A,所以D₁O₁⊥平面ACC₁A₁.

又AP平面ACC₁A₁,故D₁O₁⊥AP.

那么根据三垂线定理,知D₁O₁在平面APD₁上的射影与AP垂直.