Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为A₁A中点．
（1）求证：A₁C∥平面EBD；
（2）求证：BD⊥A₁C；
（3）若AA1=4

2

，A1C=8，求三棱锥E-BDA的体积．

Answer 1

分析：（1）连接AC，交BD于O点，连接OE．在△AA₁C中利用中位线定理，可得EO∥A₁C，再用线面平行的判定定理，得到A₁C∥平面EBD；
（2）根据正棱柱的性质，证出A₁A⊥BD，结合AC⊥BD，可得BD⊥平面AA₁C，最后根据线面垂直的性质可得BD⊥A₁C；
（3）RtRt△AA₁C中，利用勾股定理算出AC=4

2

，从而得到正方形ABCD的边长为4，可得三角形ABD面积为8，最后结合三棱锥E-BDA的高AE=2

2

，利用锥体体积公式算出
三棱锥E-BDA的体积．

解答：解：（1）连接AC，交BD于O点，连接OE
∵正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，∴O为AC中点
又∵E为A₁A的中点，∴△AA₁C中，EO∥A₁C
∵EO?平面EBD，A₁C?平面EBD，
∴A₁C∥平面EBD；
（2）∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱
∴A₁A⊥平面ABCD
∵BD?平面ABCD，∴A₁A⊥BD
又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，A₁A和AC是平面AA₁C内的相交直线
∴BD⊥平面AA₁C
∵A₁C?平面AA₁C，∴BD⊥A₁C；
（3）∵Rt△AA₁C中，AA1=4

2

，A1C=8
∴AC=

A1C2-AA12

=4

2

∴正方形ABCD中，边长AB=

2

2

AC=4
因此，三角形ABD的面积S=

1

2

×4×4=8
∵三棱锥E-BDA的高AE=

1

2

AA₁=2

2

∴三棱锥E-BDA的体积V=

1

3

×8×2

2

=

16

3

2

点评：本题以正四棱柱为例，证明线面平行和线线垂直，着重考查了空间的平行、垂直位置关系的证明和锥体体积的求法等知识，属于基础题．