Question

已知以y=±

3

x为渐近线的双曲线D：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0 ，b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，若P为双曲线D右支上任意一点，则

|PF1|-|PF2|

|PF1|+|PF2|

的取值范围是______．

Answer 1

∵双曲线D：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0 ，b＞0)的渐近线是y=±

3

x，
∴

b

a

=

3

，可得b=

3

a，c=

a2+b2

=2a
∵P为双曲线D右支上一点，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a
而|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|=2c
∴0＜

|PF1|-|PF2|

|PF1|+|PF2|

≤

2a

2c

=

a

c

∵c=2a，可得

a

c

=

1

2

∴

|PF1|-|PF2|

|PF1|+|PF2|

的取值范围是（0，

1

2

]
故答案为：（0，

1

2

]