Question

已知函数f（x）=x³-ax²-3x
（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=-是f（x）的极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值．

Answer 1

解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立
∴3x²-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立
∴且f′（1）=-2a≥0
∴a≤0
（2）∵x=-是f（x）的极值点，∴
∴
∴a=4
∴f（x）=x³-4x²-3x，f′（x）=3x²-8x-3，∴x₁=-，x₂=3
令f′（x）＞0，1＜x＜4，可得3＜x＜4；令f′（x）＜0，1＜x＜4，可得1＜x＜3；
∴x=3时，函数取得最小值-18
∵f（1）=-6，f（4）=-12
∴f（x）在[1，4]上的最大值为-6．
分析：（1）求导函数，利用f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，可得f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，由此可求实数a的取值范围；
（2）利用x=-是f（x）的极值点，求出a的值，再求出函数的极值，把极值同两个端点的值进行比较得到最值
点评：本题考查导数的应用，求极值和求最值，考查恒成立问题，考查学生等价转化问题的能力，属于中档题．