Question

【题目】设是实数，，

（1）若函数为奇函数，求的值；

（2）试用定义证明：对于任意，在上为单调递增函数；

（3）若函数为奇函数，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）由奇函数的定义，可得，化简整理，解方程可得的值；（2）运用单调性的定义证明，分取值、作差、变形和定符号、下结论等；（3）由于为奇函数且在上为增函数，由题意可得，等价于对任意恒成立，将二次函数的对称轴与0进行比较，结合二次函数的最值即可得到所求的范围．

（1）∵，且

∴，∴.

（2）证明：设，则

∵∴

∴即，所以在上为增函数．

（3）因为为奇函数且在上为增函数，

由得：

∴即对任意恒成立．

令问题等价于对任意恒成立．

令，其对称轴

当即时，，符合题意．

当时，即时，对任意，恒成立，等价于

解得：

综上所述，当时，不等式对任意恒成立