Question

 已知函数.

（Ⅰ）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）求证：.

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）∵，则。

当时，；当时，。

∴在上单调递增，在上单调递减  ∴在取极大值

∵在区间（其中）上存在极值

∴    ∴即m的取值范围为。

（Ⅱ），记

则

令，则   ∵  ∴ 

∴在上单调递增    ∴   从而  

∴在上也单调递增   ∴  

则k的取值范围为。

（Ⅲ）由（Ⅱ）知恒成立，即，

令，则，

∴，，…，

叠加得：……

                                    

∴…     ∴。