Question

已知某海滨浴场海浪的高度y（米）是时间t的（0≤t≤24，单位：小时）函数，记作：y=f（t），下表是某日各时的浪高数据：

t（时）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	1.5	1.0	0.5	1.0	1.5	1.0	0.5	0.99	1.5

经长期观察，y=f（t）的曲线，可以近似地看成函数y=Acosωt+b的图象．
（1）根据以上数据，求出函数y=f（t）近似表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于0.75米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

Answer 1

分析：（1）设函数f（t）=Asin（ωt+φ）+k（A＞0，ω＞0），从表格中找出同（6，0.5）和（12，1.5）是同一个周期内的最小值点和最大值点，由此算出函数的周期T=12并得到ω=

π

6

，算出A=

1

2

和k=1，最后根据x=6时函数有最小值0.5解出φ=

π

2

，从而得到函数y=f（t）近似表达式；
（2）根据（1）的解析式，解不等式f（t）＞0.75，可得12k-4＜t＜12k+4（k∈z），取k=0、1、2，将得到的范围与[8，20]对照，可得从8点到16点共8小时的时间可供冲浪者进行运动．

解答：解：（1）设函数f（t）=Asin（ωt+φ）+k（A＞0，ω＞0）
∵同一周期内，当t=12时y_max=1.5，当t=6时y_min=0.5，
∴函数的周期T=2（12-6）=12，得ω=

2π

12

=

π

6

，A=

1

2

（1.5-0.5）=

1

2

且k=

1

2

（1.5+0.5）=1
可得f（t）=

1

2

sin（

π

6

t+φ）+1，
再将（6，0.5）代入，得0.5=

1

2

sin（

π

6

×6+φ）+1，解之得φ=

π

2

∴函数近似表达式为f（t）=

1

2

sin（

π

6

t+

π

2

）+1，即y=

1

2

cos

π

6

t+1；
（2）由题意，可得

1

2

cos

π

6

t+1＞0.75，即cos

π

6

t＞-

1

2

，
解之得-

2π

3

+2kπ＜

π

6

t＜

2π

3

+2kπ，k∈z．即12k-4＜t＜12k+4（k∈z），
∴在同一天内取k=0、1、2得0＜t＜4，8＜t＜16，20＜t≤24
∴在规定时间上午8：00时至晚上20：00时之间，从8点到16点共8小时的时间可供冲浪者进行运动．

点评：本题给出实际应用问题，求函数的近似表达式并求能供冲浪运动的时间段．着重考查了三角函数的解析式求法、三角函数在实际问题中的应用等知识，属于中档题．