Question

已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），点M(1，

3

2

)在椭圆C上，抛物线E以椭圆C的中心为顶点，F₂为焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过点F₂，且交y轴于D点，交抛物线E于A，B两点．
①若F₁B⊥F₂B，求|AF₂|-|BF₂|的值；
②试探究：线段AB与F₂D的长度能否相等？如果|AB|=|F₂D|，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）第一步设出椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），因为椭圆C的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），可得c=1，把M代入标准方程，从而进行求解；
（2）由题意可得，抛物线E，y²=4x，设l：y=k（x-1），（k≠0），联立直线和抛物线，利用根与系数的关系，求出A，B两点和与积的关系①已知F₁B⊥F₂B，可以推出

x

2 2

+y

2 2

=1，利用此信息求出|AF₂|-|BF₂|；②假设|AB|=|F₂D|，因为l过点F₂，可以求出k的值，看是否存在，存在就求出直线l的方程．

解答：解：（1）由题意知，设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∴2a=

(-1-1)2+( 3 2 -0)2

+

(1-1)2+( 3 2 -0)2

=4，
∴a=2，又c=1，∴b=

3

，
∴椭圆c的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由题意可得，抛物线E，y²=4x，
设l：y=k（x-1），（k≠0），

y=k(x-1) y2=4x

⇒k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
△=16（k²+1）＞0，恒成立，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1，
①∵F₁B⊥F₂B，∴

x

2 2

+y

2 2

=1，
又

y

2 2

=4x2，x₁x₂=1，
∴

x

2 2

+4x₂=x₁x₂，
∴x₁-x₂=4，
∴|AF₂|-|BF₂|=x₁-x₂=4；
②假设|AB|=|F₂D|，
∵l过点F₂，∴|AB|=x₁+x₂+p=4+

4

k2

，又D（0，-k），F₂（1，0），
∵|DF₂|=

1+k2

，
∵|AB|=|DF₂|，∴4+

4

k2

=

1+k2

，
∴k⁴-16k²-16=0，∴k²=8+4

5

或k²=8-4

5

（舍去），
即k=±2

2+ 5

，所以l的方程为：y=±2

2+ 5

（x-1）时，有|AB|=|DF₂|；

点评：此题主要考查椭圆的标准方程及其应用，解决此类题一般都要联立方程，利用根与系数的关系进行求解，这类圆锥曲线问题，是高考的热点问题，也是必考问题；