题目内容

已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），抛物线E以坐标原点为顶点，F2为焦点．直线l过点F2，且交y轴于D点，交抛物线E于A，B两点若F1B⊥F2B，则|AF2|-|BF2|=
4
4
．
分析：根据题意，求出抛物线方程为y2=4x．设B（s，t），可得
F 1B
、
F 2B
关于s、t的坐标形式，根据
F 1B
•
F 2B
=0列式可得（s+1）（s-1）+t2=0．因为s、t满足t2=4s，所以联解可得s=
5
-2（舍负）．然后根据抛物线的性质，算出A的横坐标s′=
5
+2．最后由抛物线的定义分别算出|AF2|=
5
+3且|BF2|=（
5
-1），即可得到|AF2|-|BF2|的值．
解答：解：∵抛物线E以坐标原点为顶点，F2（1，0）为焦点，
∴设B（s，t），可得
F 1B
=（s+1，t），
F 2B
=（s-1，t），
∵F1B⊥F2B，
∴
F 1B
•
F 2B
=（s+1）（s-1）+t2=0，…（*）
∵点B在抛物线y2=4x上，可得t2=4s
∴方程（*）化简成：s2+4s-1=0
解之得s=
5
-2（舍负），
根据抛物线的定义，可得|BF2|=s+
p
2
=
5
-2+1=
5
-1
设点A的坐标为（s′，t′），可得s′=
p2
4
s
=
1
5
-2
=
5
+2
∴|AF2|=s′+
p
2
=
5
+2+1=
5
+3
因此，|AF2|-|BF2|=
5
+3-（
5
-1）=4
故答案为：4
点评：本题给出抛物线和椭圆，给出抛物线的焦点弦AB，在已知F1B⊥F2B的情况下求|AF2|-|BF2|的值．着重考查了椭圆、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C的两个焦点为F1(-2
2
，0)，F2(2
2
，0)，P为椭圆上一点，满足∠F1PF2=60°．
（1）当直线l过F1与椭圆C交于M、N两点，且△MF2N的周长为12时，求C的方程；
（2）求△F1PF2的面积．
精英家教网给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为
a2+b2
的圆是椭圆C的“伴随圆”．
（1）若椭圆C过点(
5
，0)，且焦距为4，求“伴随圆”的方程；
（2）如果直线x+y=3
2
与椭圆C的“伴随圆”有且只有一个交点，那么请你画出动点Q（a，b）轨迹的大致图形；
（3）已知椭圆C的两个焦点分别是F1（-
2
，0）、F2（
2
，0），椭圆C上一动点M1满足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．设点P是椭圆C的“伴随圆”上的动点，过点P作直线l1、l2使得l1、l2与椭圆C都各只有一个交点，且l1、l2分别交其“伴随圆”于点M、N．当P为“伴随圆”与y轴正半轴的交点时，求l1与l2的方程，并求线段|
MN
|的长度．
给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为
a2+b2
的圆是椭圆C的“伴随圆”． 已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-
2
，0)、F2(
2
，0)，椭圆C上一动点M1满足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程
（Ⅱ）试探究y轴上是否存在点P（0，m）（m＜0），使得过点P作直线l与椭圆C只有一个交点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2
2
．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
（2013•潮州二模）已知椭圆C的两个焦点为F1（-1，0），F2（1，0），点A(1，
2
2
)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点B（2，0），设点P是椭圆C上任一点，求
PF
1•
PB
的取值范围．

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