Question

已知椭圆的短轴长为2a，焦点是F₁(，0)、F₂(，0)，点F₁到直线x=的距离为，过点F₂且倾斜角为锐角的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|F₂B|=3|F₂A|.

(1)求椭圆的方程；

(2)求直线l的方程.

Answer 1

思路分析：本题考查椭圆性质的综合应用.已知椭圆的焦点坐标及焦点到某条直线的距离，我们可以求出椭圆的标准方程；再根据椭圆的相关定义及标准方程即可求得所要的直线方程.

解：(1)∵F₁到直线x=的距离为，∴,

∴a²=4，而c=，∴b²=a²-c²=1，

∵椭圆的焦点在x轴上，∴所求椭圆的方程为+y²=1.

(2)设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，

∵|F₂B|=3|F₂A|，∴

∵A、B在椭圆+y²=1上，

∴

∴l的斜率为=，∴l的方程为y=(x-)，即x-y-=0.