Question

已知椭圆的短轴长为2，焦点坐标分别是（-1，0）和（1，0），
（1）求这个椭圆的标准方程；
（2）如果直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由题分析出椭圆的焦点在X轴上且2b=2，c=1；求出a，b即可求椭圆的标准方程；
（2）联立直线方程与椭圆方程，整理为关于的一元二次方程；再结合直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点知道对应的方程有两个不等实根，判别式大于0即可求出m的取值范围．
解答：解：（1）由题得椭圆的焦点在X轴上且2b=2，c=1
∴b=，a²=b²+c²=4．
∴椭圆的标准方程：=1．
（2）由消去Y整理得：7x²+8mx+4m²-12=0．
由直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点得△=（8m）²-4×7×（4m²-12）＞0⇒m²＜7⇒．
所以m的取值范围是（-）．
点评：本题涉及到椭圆标准方程的求法．在求圆锥曲线的标准方程时，一定要先判断焦点所在位置，避免出错．