Question

在两条平行的直线AB和CD上分别取定一点M和N，在直线AB上取一定线段ME=a；在线段MN上取一点K，连接EK并延长交CD于F．试问K取在哪里△EMK与△FNK的面积之和最小？最小值是多少？

Answer 1

分析：先作两条平行直线的公垂线PQ，设出PQ、MN，然后令PK=x，则可表示出KQ，再根据△EMK∽△FNK，△MKP∽△NKQ，判断出

ME

NF

=

MK

NK

.

MK

NK

=

KP

KQ

.，进而可求得NF，再表示出△EMK与△FNK的面积之和，根据均值不等式，求得面积之和最小时x的值，并求得面积的最小值．

解答：解：过点K作两条平行直线的公垂线PQ，
设PQ=l，MN=m，
令PK=x，则KQ=l-x
∴△EMK∽△FNK，
∴

ME

NF

=

MK

NK

.
又∵△MKP∽△NKQ，
∴

MK

NK

=

KP

KQ

.
于是得到

ME

NF

=

KP

KQ

，NF=

ME•KQ

KP

=

a(l-x)

x

.
从而△EMK与△FNK的面积之和为
A=

1

2

•x•a+

1

2

•(l-x)•

a(l-x)

x

=

a

2

[x+

(l-x)2

x

]
=

a

2

•

2x2-2lx+l2

x

=a•(x-l+

l2

2x

)
=a[(

x

-

l

2x

)2+(

2

-1)l]
∴当

x

-

l

2x

=0时，也即x=

2

2

时，
A有最小值(

2

-1)al.x=

2

2

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．