Question

对于数列，把作为新数列的第一项，把或（）作为新数列的第项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列的一个生成数列是．已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和．
（1）写出的所有可能值；
（2）若生成数列满足，求数列的通项公式；
（3）证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为．

Answer 1

（1）（2）（3）详见解析.

试题分析：（1）列举出数列所有可能情况，共种，分别计算和值为，本题目的初步感观生成数列（2）已知和项解析式，则可利用求通项. 当时，，而当且仅当时，才成立．所以（3）本题实际是对（1）的推广.证明的实质是确定集合的个数及其表示形式.首先集合的个数最多有种情形，而每一种的值都不一样，所以个数为种情形，这是本题的难点，利用同一法证明. 确定集合的表示形式，关键在于说明分子为奇数.由得分子必是奇数，奇数个数由范围确定.
试题解析：解：（1）由已知，，，
∴，
由于，
∴可能值为．                              3分
（2）∵，
当时，，
当时，，
，，                         5分
∵是的生成数列，
∴；；；
∴
在以上各种组合中，
当且仅当时，才成立．
∴．                          8分
（3）共有种情形．
，即，
又，分子必是奇数，
满足条件的奇数共有个．            10分
设数列与数列为两个生成数列，数列的前项和为，数列的前项和为，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第项．
由于，不妨设，
则

，
所以，只有当数列与数列的前项完全相同时，才有．12分
∴共有种情形，其值各不相同．
∴可能值必恰为，共个．
即所有可能值集合为．    13分
注：若有其它解法，请酌情给分】