Question

设函数f(x)=ax-(1+a²)x²,其中a>0,区间l={x|f(x)>0}.

(1)求l的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β-α).

(2)给定常数k∈(0,1),当1-k≤a≤1+k时,求l长度的最小值.

Answer 1

 (1)因为方程ax-(1+a²)x²=0(a>0)有两个实根x₁=0,x₂=,

故f(x)>0的解集为{x|x₁<x<x₂},因此区间l=,区间长度为.

(2)设d(a)=,则d′(a)=,令d′(a)=0,得a=1,由于0<k<1,

当1-k≤a<1时,d′(a)>0,d(a)单调递增;当1<a≤1+k时,d′(a)<0,d(a)单调递减.

因此,当1-k≤a≤1+k时,d(a)的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得.而==<1,故d(1-k)<d(1+k),

因此当a=1-k时,d(a)在区间[1-k,1+k]上取得最小值.