题目内容

当x∈(0，)时，证明tanx＞x．

答案：
解析：

　　证明：设f(x)＝tanx－x，x∈(0，)．

　　∴(x)＝＝tan2x＞0．

　　∴f(x)在(0，)上为增函数．又∵f(x)＝tanx－x在x＝0处可导且f(0)＝0，

　　∴当x∈(0，)时，f(x)＞f(0)恒成立，即tanx－x＞0．

　　∴tanx＞x．

　　思路分析：首先构造函数f(x)＝tanx－x，然后判断f(x)在(0，)上的单调性．


练习册系列答案
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已知函数f(x)=ax2+
1
x
-2lnx（x＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=g（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2，总有不等式
1
2
[g(x1)+g(x2)]≥g(
x1+x2
2
)成立，则称函数y=g（x）为区间D上的“凸函数”．试证当a≥0时，f（x）为“凸函数”．
已知函数f(x)=x2+
2
x
+alnx(x＞0)，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．
已知函数f（x）=
1+ln(x+1)
x
（x＞0），
（1）函数f（x） 在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞
3
x+1
恒成立；
（3）试证：（1+1•2）（1+2•3）…[1+n（n+1）]＞e2n-3（n∈N*）．
（2013•唐山一模）已知函数f(x)=
mx+nex
在x=1处取得极值e-1．
（I ）求函数f（x）的解析式，并求f（x）的单调区间；
（II）当x＞0 时，试证：f（1+x）＞f（1-x）．
已知函数f（x）=x2+
2
x
+alnx（x＞0），
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞]上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1，x2总有以下不等式
1
2
[f（x1）+f（x2）≥f（
x1+x2
2
）成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．

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