Question

如图所示，ABCD是矩形，四个顶点在平面α内的射影分别为A′、B′、C′、D′,直线A′B′与C′D′不重合.

（1）求证：A′B′C′D′是一平行四边形；

（2）在什么条件下，A′B′C′D′也是矩形？并证明你的结论.

Answer 1

（1）证明：过B作BE∥A′B′,过C作CF∥C′D′.?

∵AA′⊥α,BB′⊥α,∴AA′∥BB′.?

∴A′B′BE为平行四边形.?

∴A′B′BE.

同理，C′D′CF.?

∵AA′⊥A′B′,∴BE⊥AA′.?

同理，CF⊥DD′.?

∵AA′∥DD′，BB′∥CC′，?

∴∠A′AB=∠D′DC.?

∵AB=OC，∴△ABE≌△DCF.?

∴BE=CF.∴A′B′=C′D′.?

∵CC′∥BB′,∴面CDD′C′∥面ABB′A′.?

∴A′B′∥D′C′.?

∵A′B′=C′D′,∴A′B′C′D′为平行四边形.?

（2）解析：∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC.?

∵AA′⊥面α,BB′⊥面α,?

∴A′B′为AB在α上的射影.?

∵A′B′C′D′也为矩形，?

∴A′B′⊥B′C′.∴AB⊥B′C′.?

①若BC∥B′C′,则成立.?

②若BC不平行于B′C′，则AB⊥面BCC′B′.?

又面BCC′B′⊥面α,ABα，∴AB∥α时成立.?

∴当ABCD中至少有一组对边平行于α时，A′B′C′D′也为矩形.