Question

设函数f(x)=(

1

2

)10-ax，a为常数，且f（3）=

1

2

（1）求a值；
（2）求使f（x）≥4的x值的取值范围；
（3）设g（x）=-

1

2

x+m，对于区间[3，4]上每一个x值，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f(3)=

1

2

，可得(

1

2

)10-3a=

1

2

，利用指数函数的单调性可得10-3a=1解出即可．
（2）由已知(

1

2

)10-3x≥4=(

1

2

)-2，利用指数函数的单调性即可得出10-3x≤-2．
（3）由题意f（x）＞g（x）化为(

1

2

)10-3x＞-

1

2

x+m恒成立．即m＜(

1

2

)10-3x+(

1

2

)x在[3，4]恒成立．设h(x)=(

1

2

)10-3x+

1

2

x，上述问题等价于m＜h（x）min，利用函数y=(

1

2

)10-3x与y=

1

2

x在在[3，4]为增函数，可得h（x）在[3，4]为增函数，即可得到h（x）的最小值．

解答：解：（1）由f(3)=

1

2

，即(

1

2

)10-3a=

1

2

，
∴10-3a=1，解得a=3．
（2）由已知(

1

2

)10-3x≥4=(

1

2

)-2，
∴10-3x≤-2．
解得x≥4
故f（x）≥4解集为{x|x≥4}．
（3）依题意f（x）＞g（x）化为(

1

2

)10-3x＞-

1

2

x+m恒成立
即m＜(

1

2

)10-3x+(

1

2

)x在[3，4]恒成立
设h(x)=(

1

2

)10-3x+

1

2

x
则m＜h（x）min，
∵函数y=(

1

2

)10-3x与y=

1

2

x在在[3，4]为增函数，
可得h（x）在[3，4]为增函数，
∴h(x)min=h(3)=

1

2

+

3

2

=2，
∴m＜2．

点评：本题考查了指数函数的单调性、恒成立问题等价转化问题等基础知识与基本技能，属于中档题．