Question

已知函数f（x）=xlnx．
（I）若函数g（x）=f（x）+ax在区间[e²，+∞]上为增函数，求a的取值范围；
（II）若对任意x∈(0，+∞)，f(x)≥

-x2+mx-3

2

恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

（I）由题意得，g′（x）=f′（x）+a=lnx+a+1，
∵函数g（x）在区间[e²，+∞）上为增函数，
∴当x∈[e²，+∞）时，g′（x）≥0，即lnx+a+1≥0在[e²，+∞）上恒成立，
∴a≥-1-lnx，
又当x∈[e²，+∞）时，lnx∈[2，+∞），
∴-1-lnx∈（-∞，-3]，
∴a≥-3．
（II）因为2f（x）≥-x²+mx-3，即mx≤2x•lnx+3+x²，
又x＞0，所以m≤

2x•lnx+x2+3

x

，令h（x）=

2x•lnx+x2+3

x

，
h′（x）=

(2xlnx+x2+3)x′-(2xlnx+x2+3)•x′

x2

=

2x+x2-3

x2

，
令h′（x）=0解得：x=1或x=-3（舍），
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）在（0，1）上单调递减，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以h（x）_min=h（1）=4，
   因为对任意x∈(0，+∞)，f(x)≥

-x2+mx-3

2

恒成立，
所以m≤h（x）_min=4，即m的最大值为4．