Question

（本小题满分13分）如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁的所有棱长都是2，又平面
ABC，D、E分别是AC、CC₁的中点。
（1）求证：平面A₁BD；
（2）求二面角D—BA₁—A的余弦值；
（3）求点B₁到平面A₁BD的距离。

Answer 1

（Ⅰ）证明：以DA所在直线为轴，过D作AC 的垂线为轴，DB所在直线为轴建立空间直角坐标系
则A(1,0,0),C(),E()，A₁(),C₁()，B()
，,
∵ ∴   ………………………………………………2分
 ∴   …………………………………………4分
又A₁D与BD相交
∴AE⊥面A₁BD            ……………………………………………………………5分
（其它证法可平行给分）
(Ⅱ)设面DA₁B的法向量为
由,，取……………………………7分
设面AA₁B的法向量为，
则由，取 ………………9分

故二面角的余弦值为      …………………………………10分
（Ⅲ）,平面A₁BD的法向量取
则B₁到平面A₁BD的距离为   …………………………13分

略