Question

已知抛物线C：y²=2px，点P（-1，0）是其准线与x轴的焦点，过P的直线l与抛物线C交于A、B两点．
（1）当线段AB的中点在直线x=7上时，求直线l的方程；
（2）设F为抛物线C的焦点，当A为线段PB中点时，求△FAB的面积．

Answer 1

分析：（1）先求出抛物线的方程，再将其与直线方程联立，利用线段AB的中点在直线x=7上，从而求出直线l的方程；
（2）利用点B在抛物线上及A为线段PB中点，求出点B的坐标，进而求出△FAB的面积．

解答：解：（1）因为抛物线的准线为x=-1，所以p=2，抛物线方程为y²=4x（2分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为y=k（x+1），（依题意k存在，且k≠0）与抛物线方程联立，消去y得k²x²+（2k²-4）x+k²=0…（*）x1+x2=

4-2k2

k2

，x₁x₂=（14分）
所以AB中点的横坐标为

2-k2

k

，即

2-k2

k2

=7所以k2=

1

4

（6分）
（此时（*）式判别式大于零）
所以直线l的方程为y=±

1

2

(x+1)（7分）
（2）因为A为线段PB中点，所以

x2-1

2

=x1，

y2

2

=y1（8分）
由A、B为抛物线上点，得(

y2

2

)2=4×

x2-1

2

，y₂²=4x₂（10分）
解得x₂=2，y2=±2

2

（11分）
当y2=2

2

时，y1=

2

；当y2=-2

2

时，y1=-

2

（12分）
所以△FAB的面积S△FAB=S△PFB-S△PFA=

1

2

|PF|•|y2-y|=

2

（14分）

点评：直线与圆锥曲线相交问题，既可从数的角度，也可从形的角度加以探究，应注意分类讨论和数形结合的思想方法的运用．