Question

选修4-5，不等式选讲，已知f（x）=x²-x+c，设x₁，x₂∈（0，1），且x₁≠x₂．求证：|f(x1)-f(x2)|＜

1

4

．

Answer 1

分析：把二次函数f（x）配方，得到x∈（0，1）时，f（x）的范围，进而得到 f（x₁）和f（x₂）的范围，
得到f（x₁）-f（x₂）的范围，从而有|f(x1)-f(x2)|＜

1

4

 成立．

解答：证明：因为 f（x）=x²-x+c=(x-

1

2

)2+c-

1

4

，
所以，当x∈（0，1）时，-

1

4

+c≤f(x)＜c，
所以，当x₁，x₂∈（0，1）时，-

1

4

+c≤f(x1)＜c，且 -

1

4

+c≤f(x2)＜c，
所以，-

1

4

＜f(x1)-f(x2)＜

1

4

，从而有|f(x1)-f(x2)|＜

1

4

．

点评：本题考查二次函数的性质，不等式的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想．证明
-

1

4

+c≤f(x1)＜c，且 -

1

4

+c≤f(x2)＜c成立，是证明的关键．