Question

已知函数y=x³+3px²+3px+1．
（1）试问该函数能否在x=-1处取到极值？若有可能，求实数p的值；否则说明理由；
（2）若该函数在区间（-1，+∞）上为增函数，求实数p的取值范围．

Answer 1

（1）该函数不能在x=-1处取到极值，理由如下：
假设存在x=-1处取到极值，则此处导数为0，
y=x³+3px²+3px+1，y'=3x²+6px+3p，
若该函数能在x=-1处取到极值，则y'|_x=-1=3-6p+3p=0，
即p=1，此时，y'=3x²+6x+3=3（x+1）²≥0，函数为单调函数，这与
该函数能在x=-1处取到极值矛盾，则该函数不能在x=-1处取到极值．
（2）若该函数在区间（-1，+∞）上为增函数，
则在区间（-1，+∞）上，y'=3x²+6px+3p≥0恒成立，
①

-p≤-1 f′(-1)=3-6p+3p≥0

?p=1；
②

-p＞-1 f′(-p)=3p-3p2≥0

?0≤p＜1，
综上可知，0≤p≤1．则p的取值范围是[0，1]