Question

已知函数f（x）=x³-3a²x+1
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）已知a＞0，若?x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=x³-3x+1
f'（x）=3x²-3
由f'（x）＞0得x＜-1或x＞1，
由f'（x）＜0得-1＜x＜1
故f（x）的单调递增区间是（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间是（-1，1）
（2）由题?x∈[1，2]，恒有x³-3a^2x+1≥0??x∈[1，2]，恒有3a2≤

x3+1

x

令h(x)=

x3+1

x

=x2+

1

x

，h′(x)=2x-

1

x2

=

2(x3- 1 2 )

x2

，
当x∈[1，2]时，h'（x）＞0
∴h（x）在[1，2]上单调递增，
∴h（x）_min=h（1）=2
故3a²≤2
又a＞0
∴0＜a≤

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