Question

（2012•泸州一模）已知函数f(x)=lnx-

1

2

ax2．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处有极值，求a的值；
（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x₀，y₀），使得：①x0=

x1+x2

2

；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．问函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由；
（Ⅲ）求证：[（n+1）!]²＞（n+1）e^2（n-2）（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f（x）在x=1处取得极值，则f'（1）=0，求出a的值，然后验证即可；
（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．
（3）由（2）可得lnx=

2(x-1)

x+1

=2(1-

2

x+1

)＞2(1-

2

x

)，令x=n（n+1），则ln[n(n+1)]＞2[1-

2

n(n+1)

]，写出n个式子，叠加即可证明结论．

解答：解：（Ⅰ）函数f(x)=lnx-

1

2

ax2的定义域为（0，+∞）．           
求导函数，可得f′（x）=

1

x

-ax
∵f（x）在x=1处取得极值，
即f'（1）=1-a=0，∴a=1．                                                        
当a=1时，在（1，+∞）内f'（x）＜0，在（0，1）内f'（x）＞0，
∴x=1是函数y=f（x）的极大值点，∴a=1．
（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上的不同两点，且0＜x₁＜x₂，
则y₁=lnx₁-

1

2

ax₁²，y₂=lnx₂-

1

2

ax₂²．
∴k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a(x1+x2)
曲线在点M（x₀，y₀）处的切线斜率k=f'（x₀）=f′(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

-a•

x1+x2

2

依题意得：

lnx2-lnx1

x2-x1

=

2

x1+x2

即ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x2+x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

设

x2

x1

=t（t＞1），上式化为：lnt=

2(t-1)

t+1

=2-

4

t+1

，
即lnt+

4

t+1

=2．…（12分）
令g(t)=lnt+

4

t+1

，g′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

因为t＞1，显然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，
显然有g（t）＞2恒成立．
所以在（1，+∞）内不存在t，使得lnt+

4

t+1

=2成立．
综上所述，假设不成立．所以函数f（x）不存在“中值相依切线”．…（14分）
（3）证明：由（2）知lnx=

2(x-1)

x+1

=2(1-

2

x+1

)＞2(1-

2

x

)，
令x=n（n+1），则ln[n(n+1)]＞2[1-

2

n(n+1)

]，
所以ln(1×2)＞2(1-

2

1×2

)，ln(2×3)＞2(1-

2

2×3

)，ln(3×4)＞2(1-

2

3×4

)，…，ln[n(n+1)]＞2[1-

2

n(n+1)

]．
叠加得：ln[1×2²×3²×…×n²×（n+1）]＞2n-4(1-

1

n+1

)＞2n-4+

4

n+1

＞2(n-2)
则1×2²×3²×…×n²×（n+1）＞e^2（n-2），
所以[（n+1）!]²＞（n+1）•e^2（n-2），（n∈N^*）．

点评：本题考查应用导数研究函数的极值最值问题，考查不等式的证明，有关恒成立的问题一般采取分离参数，转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法．