题目内容

设函数 $数学公式$ ．
①求它的定义域；②判断它的奇偶性；③求证： $数学公式$ ．

解：①由题意得：
1-x²≠0，
∴x≠±1，
∴函数的定义域为：{x|x≠±1}；
②∵定义域关于原点对称，
且f（-x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =f（x），
∴函数是偶函数；
③∵ $\text{[math]}$ =-f（x），
∴ $\text{[math]}$ 得证．
分析：①根据分母不为0，用一元二次不等式求解．
②由①知定义域关于原点对称，考查f（-x）与f（x）的关系，依据定义判断．
③先化简f（ $\text{[math]}$ ），然后作比较发现是与-f（x）相等的式子．
点评：本题考查函数的定义域的求法，利用定义判断函数的奇偶性，以及利用对数的运算性质证明等式．属于基础题．

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（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论；
（3）写出一个三次函数G（x），使得它的“拐点”是（1，3）（不要过程）

（2009•东营一模）对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）．
定义：（1）设f''（x）是函数y=f（x）的导数y=f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”；
定义：（2）设x₀为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x₀+x）+f（x₀-x）=2f（x₀）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x₀，f（x₀））对称．
已知f（x）=x³-3x²+2x+2，请回答下列问题：
（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标
（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）
（3）写出一个三次函数G（x），使得它的“拐点”是（-1，3）（不要过程）

对于函数y=f（x），定义：若存在非零常数M、T，使函数f（x）对定义域内的任意实数x，都满足f（x+T）-f（x）=M，则称函数y=f（x）是准周期函数，常数T称为函数y=f（x）的一个准周期．如函数f（x）=x+（-1）^x（x∈Z）是以T=2为一个准周期且M=2的准周期函数．
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，
（Ⅰ）求f（1+i）的值；
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