Question

（2005•闸北区一模）现定义复函数如下：在某个变化过程中有两个变量z与w，如果对于z的某个范围D内的每一个确定的复数，按照某个对应法则f，w都有唯一确定的复数与它对应，那么，我们就称w是z的复函数，记作w=f（z）．设复函数f(z)=

. z

z2+1

，
（Ⅰ）求f（1+i）的值； 
（Ⅱ）若f（z）=1，求z的值．

Answer 1

分析：（I）根据所给的函数的解析式和自变量的值，把自变量的值代入写出对应的解析式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出最简形式．
（II）设出复数z的代数形式，代入所给的解析式，使得函数值等于1，得到关于a，b的方程组，解方程组即可得到结果．

解答：解：（Ⅰ）根据所给的解析式和自变量的值，得到
f（1+i）=

. 1+i

(1+i)2+1

=

1-i

1+2i

=

(1-i)(1-2i)

5

=-

1

5

-

3

5

i．
（Ⅱ）设z=a+bi（a，b∈R），
f（z）=1⇒a-bi=(a+bi)2+1⇒

a=a2-b2+1 -b=2ab

⇒

a=- 1 2 b=± 7 2

，
∴z=-

1

2

±

7

2

i．

点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算及复数相等的充要条件，本题解题的关键是读懂题意，本题是一个新定义问题，需要理解题意再进行复数的运算．