Question

已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝x＋lnx，其中a＞0．

(1)若x＝1是函数h(x)＝f(x)＋g(x)的极值点，求实数a的值；

(2)若对任意的x₁，x₂∈[1，e](e为自然对数的底数)都有f(x₁)≥g(x₂)成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵，其定义域为， 　　∴．1分 　　∵是函数的极值点，∴，2分 　　即；3分 　　∵，∴．4分 　　(2)对任意的都有≥成立等价于对任意的 　　都有≥．5分 　　当[1，]时，． 　　∴函数在上是增函数． 　　∴；6分 　　∵，且，． 　　①当且[1，]时，， 　　∴函数在[1，]上是增函数， 　　∴．7分 　　由≥，得≥， 　　又，∴不合题意． 　　②当1≤≤时， 　　若1≤＜，则， 　　若＜≤，则． 　　∴函数在上是减函数，在上是增函数． 　　∴． 　　由≥，得≥， 　　又1≤≤，∴≤≤．8分 　　③当且[1，]时，， 　　∴函数在上是减函数．∴． 　　由≥，得≥， 　　又，∴．9分 　　综上所述，的取值范围为．10分