Question

已知椭圆

x2

25

+

y2

16

=1与双曲线

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）具有相同的焦点F₁，F₂，设两曲线的一个交点为Q，∠QF₁F₂=90°，则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

分析：根据椭圆的方程可求得其半焦距，利用椭圆和双曲线有相同的焦点可求得双曲线的半焦距，把x=3代入椭圆方程求得Q的坐标，利用∠QF₁F₂=90°推断出QF₁⊥x轴，进而可求得|QF₁|，利用椭圆的定义求得|QF₂|，进而利用双曲线的定义求得双曲线的长轴的长，求得m的值，最后利用e=

c

m

求得答案．

解答：解：根据椭圆方程可得椭圆的半焦距c=

25-16

=3
把x=3代入椭圆方程求得y=±

16

5

∴|QF₁|=

16

5

，|QF₂|=10-

16

5

=

34

5

根据双曲线的定义可知2m=

34

5

-

16

5

=

18

5

∴m=

9

5

∴e=

c

m

=

5

3

故答案为：

5

3

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，圆锥曲线的共同特征．考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合掌握．