Question

（12分）数列{a_n}满足S_n=2n-a_n（n∈N^*）.

(1)计算a₁，a₂，a₃，a₄

(2)猜想通项公式a_n，并用数学归纳法证明.

Answer 1

解：（1）a₁=1，a₂=,a₃=,a₄=

       (2)猜想a_n=,

证明：①当n=1时，a₁=1猜想显然成立；

②假设当n=k（n≥1且n∈N^*）时，猜想成立，

即a_k=,S_k=a₁+a₂+…+a_k=2k-a_k,

那么，n=k+1时，a_k+1=S_k+1-S_k=2（k+1）-a_k+1-（2k-a_k），

∴a_k+1===,∴当n=k+1时猜想成立；

综合①②，当n∈N^*时猜想成立.