题目内容

讨论函数f（x）=x+（a＞0）的单调性.

f（x）分别在（-∞，-］、［，+∞）上为增函数；f（x）分别在［-，0）、（0，］上为减函数


解析:

方法一  显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，设x1＞x2＞0,则

f(x1)-f(x2) =（x1+）-（x2+）=(x1-x2)·（1-）.

∴当0＜x2＜x1≤时，＞1,

则f（x1）-f（x2）＜0，即f(x1)＜f(x2),故f（x）在（0，］上是减函数.

当x1＞x2≥时，0＜＜1，则f（x1）-f（x2）＞0,即f(x1)＞f(x2),

故f（x）在［，+∞）上是增函数.∵f（x）是奇函数，

∴f（x）分别在（-∞，-］、［，+∞）上为增函数；f（x）分别在［-，0）、（0，］上为减函数.

方法二  由f ′（x）=1-=0可得x=±

当x＞时或x＜-时，f ′(x)＞0，∴f（x）分别在（，+∞）、（-∞，-］上是增函数.

同理0＜x＜或-＜x＜0时，f′（x）＜0

即f（x）分别在（0，］、［-，0）上是减函数.

练习册系列答案
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已知函数f（x）=bx，g（x）=ax2+1，h（x）=ln（1+x2）．（a，b∈R）
（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范围；
（2）设F（x）=f（x）+h（x），且b≤0，试讨论函数F（x）的单调性．
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（2）若f（x）满足f（x）≥g（x）恒成立，则称f（x）是g（x）的一个“上界函数”，如果函数f(x)为g(x)=
t
x
-lnx（t为实数）的一个“上界函数”，求t的取值范围；
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x2
2
-
m2+1
m
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讨论函数f（x）=x+
ax
（a＞0）的单调性．
已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若k=
1
3
，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间[
1
2
，a]上的值域为[
1
a
，1]，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
（1）证明：函数f（x）=x+
2
x
在（0，
2
]上是减函数，在[
2
，+∞）上是增函数；
（2）试讨论方程x+
2
x
=a，（x∈（1，2]，a∈R）的解的个数．

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