Question

已知F₁、F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，右焦点F₂（c，0）到上顶点的距离为2，若a²=

6

c，
（1）求此椭圆的方程；
（2）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于M、N两点（N在第一象限内），又P、Q是此椭圆上两点，并且满足(

NP

| NP |

+

NQ

| NQ |

)•

F1F2

=0，求证：向量

PQ

与

AM

共线．

Answer 1

分析：（1）利用条件找到关于右焦点F₂（c，0）到上顶点的距离为2和a²=

6

c，找到关于a，b，c的三个方程求出a，b，c即可．
（2）由(

NP

| NP |

+

NQ

| NQ |

)•

F1F2

=0?(

NP

| NP |

+

NQ

| NQ |

)与∠PNQ的平分线平行?∠PNQ的平分线垂直于x轴；再把直线方程与椭圆方程联立，求出直线PQ与直线AM的斜率，利用斜率的关系得结论即可．

解答：解：（1）由题知：

a2= 6 c a=2 a2=b2+c2

?

a2=4 b2= 4 3

所以

x2

4

+

3y2

4

=1（4分）
（2）因为：(

NP

| NP |

+

NQ

| NQ |

)•

F1F2

=0，
从而(

NP

| NP |

+

NQ

| NQ |

)与∠PNQ的平分线平行，
所以∠PNQ的平分线垂直于x轴；
由

y=x x2 4 + 3y2 4 =1

；得M（-1，-1）；N（1，1）
不妨设PN的斜率为k，则QN的斜率-k；因此PN和QN的方程分别为：
y=k（x-1）+1、y=-k（x-1）+1；其中k≠0；（8分）
由

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3y2 4 =1

得；
（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0（*）
因为N（1，1）在椭圆上；所以x=1是方程（*）的一个根；
从而；xP=

3k2-6k-1

1+3k2

（10分）
同理：xQ=

3k2-6k-1

1+3k2

；
从而直线PQ的斜率kPQ=

yP-yQ

xP-xQ

=

1

3

；
又A（2，0）、M（-1，-1）；
所以k_AM=

1

3

；所以k_PQ=k_AM；所以向量

PQ

与

AM

共线．（14分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合应用以及椭圆方程的求法．关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，向量和的坐标和点的坐标的关系．