Question

已知圆O：x²+y²=4，AB为圆O的任意一条直径，P（1，3），Q（-1，0），则当PA+AB+BQ最小时，直径AB所在的直线方程为    ．

Answer 1

【答案】分析：设点R（1，0）、点A（x，y），则点B（-x，-y），PA+BQ+AB=++4．
数形结合可得当点A是PR与圆的交点时，PA+BQ=+ 最小，即PA+AB+BQ最小，
此时，点A（1，），求得AB的斜率，用点斜式求得AB的方程．
解答：解：∵已知圆O：x²+y²=4，AB为圆O的任意一条直径，P（1，3），Q（-1，0），
设点R（1，0）、点A（x，y），
则点B（-x，-y），PA+AB+BQ=+4+
=++4=PA+AR+4．
由于 表示圆上的点A（x，y）到点P（1，3）的距离，
而  表示圆上的点A（x，y）到点R（1，0）的距离，
故当点A是PR与圆的交点时，PA+AR=+ 最小，
即PA+AB+BQ最小，此时，点A（1，），故AB的斜率为=，
故直线AB的方程为 y=x，
故答案为 y=x．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，两点间的距离公式的应用，用点斜式求直线的方程，属于基础题．