Question

（2009•临沂一模）已知函数f（x）=

1

3

x³-x²+ax-a（a∈R）．
（Ⅰ）当a=-3时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与x轴有三个不同的交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）当a=-3时f'（x）=x²-2x-3，可得f'（x）的零点为x₁=-1、x₂=3，分别在区间（-∞，-1）、（-1，3）和（3，+∞）内讨论f'（x）的正负，即可得到函数的单调性，从而得到函数f（x）的极值；
（II）根据题意，求导数得f'（x）=x²-2x+a，从而得到a＜1时△＞0，方程f'（x）=0的两个不相等的实根
x₁、x₂满足x₁＜x₂，x₁+x₂=2且x₁x₂=a．化简f'（x₁）=0得到a=-x₁²+2x，从而得到f（x₁）=

1

3

x₁[x₁³+3（a-2）]，同理得f（x₂）=

1

3

x₂[x₂³+3（a-2）]．由此将f（x₁）f（x₂）表示成关于a的式子，结合a²-3a+3＞0解得得a＜0，即得满足条件的实数a的取值范围．

解答：解：（I）当a=-3时，f（x）=

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3

x³-x²-3x+3
∴f'（x）=x²-2x-3．
令f'（x）=0，得x₁=-1，x₂=3┉┉┉┉┉┉┉┉（2分）
当x＜-1或x＞3时，f'（x）＞0；当-1＜x＜3时，f'（x）＜0；
∴在f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上单调递增；
在区间（-1，3）上单调递减；┉┉┉┉┉（4分）
∴当x=-1时，f（x）取得极大值为f（-1）=

14

3

；当x=3时，f（x）取得极小值为f（3）=-6．┉┉（6分）
（II）∵f'（x）=x²-2x+a，∴△=4-4a=4（1-a）．┉┉┉┉┉┉┉┉（7分）
①若a≥1，则△≤0可得f'（x）≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增；
此时函数的图象与轴有且只有一个交点，不合题意．┉┉┉┉┉┉（9分）
②若a＜1，则△＞0，
f'（x）=0有两个不相等的实根，不妨设为x₁、x₂且x₁＜x₂
则x₁+x₂=2且x₁x₂=a
当x变化时，f'（x）、f（x）的取值情况如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∵x₁²-2x₁+a=0，可得a=-x₁²+2x，
∴f（x₁）=

1

3

x₁³-x₁²+ax₁-a=

1

3

x₁³-x₁²+ax₁+x₁²-2x₁
=

1

3

x₁³+（a-2）x₁=

1

3

x₁[x₁³+3（a-2）]，┉┉┉┉┉┉┉┉（11分）
同理可得f（x₂）=

1

3

x₂[x₂³+3（a-2）]．
∴f（x₁）f（x₂）=

1

9

x₁x₂[x₁³+3（a-2）][x₂³+3（a-2）]
=

4

9

a（a²-3a+3），┉┉┉┉┉┉┉┉（13分）
令f（x₁）f（x₂）＜0，结合a²-3a+3＞0得a＜0
此时f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．
综上所述，a的取值范围是（-∞，0）┉┉┉┉┉（14分）

点评：本题给出三次多项式函数，求函数的单调区间与极值，并讨论函数图象与x轴交点个数的问题．着重考查了利用导数研究函数的单调区间、三次函数的图象与性质等知识，属于中档题．