Question

工厂有一段旧墙长m，现准备利用这段旧墙为一面，建造平面图形为矩形，面积为m²的厂房，工程条件是：(1)建1m新墙费用为a元；(2)修1 m旧墙费用是元；(3)拆去1 m旧墙，用所得材料建1m新墙费用为元，经过讨论有两种方案：

①利用旧墙的一段(x<14)为矩形厂房一面的边长；

②矩形厂房利用旧墙的一面，矩形边长x≥14。

问：如何利用旧墙，即x为多少m时，建墙费用最省？①②两种方案哪种更好？

Answer 1

解：(1)利用旧墙的一段xm(x<14)，则修墙费用为x·元，将剩余旧墙拆得材料建新墙费用为(14－x)·元，其余建新墙的费用为·a元．

总费用y＝a＋a＋a＝a＝7a(0<x<14)．

∴y≥7a＝35a。当且仅当＝，即x＝12m时，y_min＝35a.

(2)利用旧墙的一面，矩形边长x≥14，则修旧墙费用为×14＝a元，建新墙费用为a元．

总费用y＝a＋a＝a＋2a(x≥14)．

由t＝x＋在[，＋∞)上为增函数，得y₁＝x＋在[14，＋∞)上为增函数．

∴当x＝14m时，y_min＝a＋2a＝35.5a.

综上所述，采用第一种方案，利用旧墙的12m为矩形的一面边长时，建墙费用最省