Question

如图，AD，BE，CF分别是锐角△ABC的三条高，垂足分别为D，E，F，以BC为为直径的圆O和AD交于G点，过G的直径的另一端点为K，若EK，FK和BC分别交于M，N。求证：OM=ON。

Answer 1

证明：AD，BE，CF分别是锐角△ABC的三条高

    ∴它们必相交于一点，记为H

∴H为△ABC的垂心      （5分）

连结GE，GM，DE

∵GK是⊙O的直径  ∴∠GEM = 90°

∵∠GDM = 90°  ∴G，D，M，E四点共圆  （10分）

∴∠GME = ∠GDE

又∵H，D，C，E四点共圆，∴∠GDE = ∠HDE = ∠HCE

∴∠GME = ∠HCE = ∠FKE， ∴GM∥FK     （5分）

∴∠OMG = ∠ONK，

∵∠GOM = ∠KON， GO = KO，

∴△OMG≌△ONK，∴OM = ON         （20分）