Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，A、B、C是圆O上三点，AD是∠BAC的角平分线，交圆O于D，过B作圆O的切线交AD的 延长线于E．
（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD；
（Ⅱ）求证：AB•DE=CD•BE．

Answer 1

分析：（I）根据弦切角定理，证出∠EBD=∠BAD．由AD是∠BAC的角平分线证出弧BD=弧CD，从而可得∠BAD=∠CBD，即可得到∠EBD=∠CBD；
（II）根据∠BEA=∠DEB且∠EBD=∠EAD，证出△ABE∽△BDE，可得AB•DE=BD•BE．再根据（I）的结论得到BD=CD，代入前面的等式即可AB•DE=CD•BE．

解答：证明：（I）∵BE切圆O于点B，∴∠EBD=∠BAD．
又∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，可得弧BD=弧CD，
∴∠CBD对弧BD，∠BAD对弧CD，∴∠BAD=∠CBD，
因此，可得∠EBD=∠CBD；
（II）∵∠BEA=∠DEB，∠EBD=∠EAD，
∴△ABE∽△BDE，可得

AB

BD

=

BE

DE

，即AB•DE=BD•BE．
∵由（I）的证明得弧BD=弧CD，可得BD=CD，
∴AB•DE=CD•BE．

点评：本题在圆中给出角平分线与切线，求证角相等并证明线段的等积式．着重考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、圆的切线的性质等知识，属于中档题．