题目内容
已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）•f（y），且f（-1）=1，f（27）=9，当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1．
（1）求f（0）及f（3）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并给出证明；
（4）若a≥0且f（a+1）≤
，求a的取值范围．
（1）求f（0）及f（3）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并给出证明；
（4）若a≥0且f（a+1）≤
| 3 | 9 |
分析：（1）令x=y=0，可求得f（0）=0，利用f（xy）=f（x）•f（y），f（27）=9，可求得f（3）；
（2）令y=-1，可求得f（-x）=f（x），从而可判断f（x）的奇偶性；
（3）易证当x＞0时，f（x）＞0，设0≤x1＜x2，可证得0≤f（
）=
＜1，从而可证函数f（x）在[0，+∞）上是增函数；
（4）利用函数在[0，+∞）上是增函数，可求得a的取值范围．
（2）令y=-1，可求得f（-x）=f（x），从而可判断f（x）的奇偶性；
（3）易证当x＞0时，f（x）＞0，设0≤x1＜x2，可证得0≤f（
| x1 |
| x2 |
| f(x1) |
| f(x2) |
（4）利用函数在[0，+∞）上是增函数，可求得a的取值范围．
解答：解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）•f（0），
∴f（0）=0或f（0）=1，
又当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1，
∴f（0）=0；
∵f（27）=9，又f（3×9）=f（3）•f（9）=f（3）•f（3）•f（3）=[f（3）]3，
∴9=[f（3）]3，
∴f（3）=
；
（2）令y=-1，则f（-x）=f（x）•f（-1），
∵f（-1）=1，
∴f（-x）=f（x），且x∈R，
∴f（x）为偶函数．
（3）若x≥0，则f（x）=f（
•
）=f（
）•f（
）=[f(
)]2≥0．
若存在x0＞0，使得f（x0）=0，
则f（27）=f（x0•
）=f（x0）•f（
）=0，与f（27）=9矛盾，
∴当x＞0时，f（x）＞0．
设0≤x1＜x2，则0≤
＜1，
∴f（x1）=f（
•x2）=f（
）•f（x2），
∴f（
）=
．
∵当x≥0时f（x）≥0，且当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1．
∴0≤f（
）=
＜1，
∴f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．
（4）∵f（a+1）≤
，
∴f（a+1）≤f（3），
∵a≥0，
∴a+1∈[0，+∞），3∈[0，+∞），又函数在[0，+∞）上是增函数，
∴a+1≤3，即a≤2，
又a≥0，故0≤a≤2．
∴f（0）=0或f（0）=1，
又当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1，
∴f（0）=0；
∵f（27）=9，又f（3×9）=f（3）•f（9）=f（3）•f（3）•f（3）=[f（3）]3，
∴9=[f（3）]3，
∴f（3）=
| 3 | 9 |
（2）令y=-1，则f（-x）=f（x）•f（-1），
∵f（-1）=1，
∴f（-x）=f（x），且x∈R，
∴f（x）为偶函数．
（3）若x≥0，则f（x）=f（
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
若存在x0＞0，使得f（x0）=0，
则f（27）=f（x0•
| 27 |
| x0 |
| 27 |
| x0 |
∴当x＞0时，f（x）＞0．
设0≤x1＜x2，则0≤
| x1 |
| x2 |
∴f（x1）=f（
| x1 |
| x2 |
| x1 |
| x2 |
∴f（
| x1 |
| x2 |
| f(x1) |
| f(x2) |
∵当x≥0时f（x）≥0，且当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1．
∴0≤f（
| x1 |
| x2 |
| f(x1) |
| f(x2) |
∴f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．
（4）∵f（a+1）≤
| 3 | 9 |
∴f（a+1）≤f（3），
∵a≥0，
∴a+1∈[0，+∞），3∈[0，+∞），又函数在[0，+∞）上是增函数，
∴a+1≤3，即a≤2，
又a≥0，故0≤a≤2．
点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，考查恒成立问题与推理证明能力，属于难题．
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